Ar verta bijoti matematikos?

Rita Gasiukevičienė

Plačiai paplitusi nuomonė, kad matematika – sunkus mokslas. Tam pritaria daug mokytojų, mokinių, tėvų. Mokslo sunkumą lyg ir įrodo lengvėjant egzaminų užduotims į aukštumas nekylantys rezultatai, aimanavimai dėl per sudėtingos programos, per didelio mokymosi krūvio, šalies rezultatų palyginimas tarptautiniame kontekste. Kita vertus, kasmet turime matematikos valstybinių brandos egzaminų šimtukininkų, kasmet iš tarptautinių matematikos olimpiadų parvežami medaliai. Kaip gi yra iš tikrųjų?

Gimtosios kalbos įtaka ir ankstyvasis ugdymas

 

Viskas prasideda nuo artimos aplinkos, vos vaikui gimus. Matematikoje labai svarbu tikslumas. Deja, lietuvių kalba, kaip mes ją bemylėtume, matematikos mokymui ne visada tinka. Paimkim paprastą žodį „pusė“. Matematiškai tai lyg ir ½. Bet šnekamojoje kalboje – tikrai ne. Dažnai kalbama apie didesnę ir mažesnę puses. Prašydami ką nors padalyti į dvi lygias dalis, vaikui taip ir sakome: „Padalink į dvi lygias puses“. Nuo vaikystės žinome, kad pusės gana dažnai lygios nebūna: broliui ar sesei atitekusi saldainio pusė juk visada didesnė, argi ne? Taigi pusė šnekamojoje kalboje – ne viena antroji, o tiesiog tam tikra dalis. Ir jei perkate didesnę pusę namo, atidžiai paskaitykite pirkimo sutartį, nes jei ten parašyta ½ – jokios didesnės pusės nėra. Pasakose pusės reikšmė dar kitokia, ten paleidžiama eiti ir į visas keturias puses. Žmonės leidžiasi ieškoti savo antrosios pusės. Tai kiek tų pusių yra ir kokios jos? Kaip vaikui susigaudyti? Gal vertėtų matematikoje žodžio „pusė“ visai atsisakyti?

 

Pratęsiant mintį apie šnekamosios kalbos įtaką, panagrinėkime žodelį „ne“. Ko nors paklauskite naudodami neiginį, pavyzdžiui, „Ar nešalta?“. Ir pagalvokite, kokio atsakymo tikitės. Jei atsakys „ne“ – suprasime, kad taip, nešalta. O jei šalta? Lauksime atsakant „šalta“. Ką suprastumėte, išgirdę „taip“? Tikriausia klaustumėte iš naujo. Bet matematiškai atsakymas „ne“ reikštų klausimo paneigimą – „ne nešalta“ – vadinasi, „šalta“. Kartą taip vos neperšaldžiau savo vaiko. Ir dar supeikiau už klaidinantį atsakymą. Šis pyktelėjo: „Taigi sakiau, kad ne nešalta!“. Atsakymas tikrai buvo logiškas. Galbūt visi maži vaikai ir mąsto logiškai, tik mes juos „permokome“ savaip; paskui dar stebimės, kad neturi loginio mąstymo. Arba frazė „niekada nedarysiu“. Pagalvokite, ką ji reiškia iš tikrųjų? Ogi „visada nedarysiu“. Tai nejaugi „niekada“ ir „visada“ yra sinonimai? Tikrai ne. Bet jei „nenoriu nevalgyti“ yra „noriu valgyti“, tai gal ir „niekada nedarysiu“ yra „visada darysiu“? Susipainiojote, tiesa? Tai kaip vaikams tada suprasti matematinę logiką, kai nuo vaikystės mokome taip kalbėti?

 

Matematinių gebėjimų ugdymui turi reikšmės ir gebėjimas teisingai atsakyti į vaiko pateiktus klausimus čia ir dabar. Dažnas vaikas dar iki mokyklos paklausia, kokį žinai didžiausią skaičių. Geriausia sakyti tiesą – tokio nėra. Po pirminės nuostabos – „Kaip tai nėra?“ – reikėtų labai paprastai paaiškinti pasiūlant pasakyti bet kokį skaičių, o tada pasakant kiek gautume prie jo pridėję vienetą. Vaikai greitai suvokia, kad vienetą pridėti galima prie bet kurio skaičiaus. O kai pridedi – padidėja; taigi didžiausio iš tiesų nėra, nes visada yra už jį vienetu didesnis. Tas pats galioja ir bandant atimti iš mažesnio skaičiaus didesnį – nesvarbu, kiek tuo metu vaikui metų, jei tik domisi, derėtų iš karto paaiškinti, kas tada atsitinka; jei vaikas mažas, paprasčiausia pasinaudoti skolos sąvoka, jei didesnis – galima po to užsiminti ir apie neigiamus skaičius, pasinaudojant lauko termometru. Šie klausimai iškyla žymiai anksčiau, nei imama mokyti mokykloje. Tokių pavyzdžių – be galo daug net ir vyresniame amžiuje (pavyzdžiui, kvadratinė šaknis iš neigiamo skaičiaus – juk yra), ir reikia nebijoti visada atsakyti teisingai, nesumenkinant klausiančiojo (per mažas – nesuprasi) ir nepateikiant klaidinančio atsakymo, bet atitinkamai vaiko amžiui, pagal jo suvokimo lygį.

Ugdymo programų reikšmė

 

Visuomenės nuomone, daugumai mokinių matematika mokykloje – sunku. Bet tai neprasideda iš karto. Pirmokai kažkaip visai nesunkiai susitvarko: išmoksta skaičiuoti, sudėti, atimti. Mažiesiems svarbu, kad viskas būtų susieta su jų aplinka, kad matytų praktinį pritaikymą. Prasidėjus dviženkliams skaičiams ir pritrūkus rankų pirštų sunkiai besigaudantiems situaciją palengvina skaičių pavertimas pinigais (kol dar jų galutinai nepakeitė kortelės), kuriuos dažniausiai žmonės susiskaičiuoja greičiau ir tiksliau nei bereikšmius skaičius. Pirmasis tikras matematikos iššūkis – daugybos lentelė. Ją visiems tenka mokytis mintinai. Tik anksčiau tai prasidėdavo pirmos klasės antrame pusmetyje, o dabar – gerokai vėliau. Ar vaikai tapo kvailesni? Tikrai ne. Ar tai pasiteisino? Manyčiau, irgi ne, nes dabar daug pagrindinės mokyklos mokytojų skundžiasi, kad vaikai dar nemoka daugybos lentelės. Užtai visi gali greitai suskaičiuoti išmaniaisiais įrenginiais. Gal todėl ir mokytis mintinai nebemato prasmės. Bet bazinės žinios – būtinos, o jos įgyjamos tik nelengvomis pastangomis. Kuo anksčiau vaikai įpras dirbti, tuo geresnių rezultatų sulauks ateityje.

 

Rimti nesklandumai prasideda mokantis trupmenas. Tikslumas čia – labai svarbu. Kai reikia padalyti tortą, visiems viskas dar aišku. Bet kai dalijame gėles, medžius ir pan., tikslumas dažnai baigiasi. Įvairiose interneto svetainėse gausu „korektiškų“ užduočių ir netgi vertinimo testų: pavyzdžiui, iš penkių gėlės žiedlapių nuspalvinti du, ir klausiama, kuri gėlės dalis nuspalvinta. Manote, 2/5? Toks atsakymas ir pateikiamas. Bet gėlė dar turi kotelį, viduriuką, kurie puikuojasi paveikslėlyje, bet apie jų plotą nekalbama. O iš pradinuko reikalaujama tikslaus atsakymo. Tai kaip vaikui mokėti trupmenas, kai jis pratinamas nematyti visumos, nekreipti dėmesio į užduoties sąlygą? Juk toks atsakymas būtų, jei reikėtų rasti ne gėlės, o žiedlapių dalį. Ir net pateikus klausimą korektiškai, ne kiekvienas atkreips dėmesį ir paskatins vaiką pamąstyti, o kokia gi būtų visos gėlės dalis. Arba siūloma apskaičiuoti nuspalvintą stačiakampio dalį, kai linijų, dalijančių stačiakampį į langelius, storis lygus vos ne pusei (ir vėl tas žodis) nuspalvinto langelio storio… Ir talpina į internetą, visi dalijasi, giria, sprendžia, nesuka galvos. Spėkit, kas būna, kai toks vaikas ateina į 5 klasę? Teisingai, mokosi iš naujo. Gal tai – viena priežasčių 5 klasėje kartoti pradinių klasių kursą?

 

Juk 5 klasės matematikos fronte nieko naujo, be kartojimo, iš esmės ir nevyksta. Todėl tie mokinukai, kuriems viską pavyko teisingai išmokti pradinėse klasėse, jei neaprūpinami kitokiais, įdomiais uždaviniais (tinka olimpiadiniai), mokosi tingėti. Tokios dirbtinai palengvintos programos padaro didžiulę meškos paslaugą – atpratina galvoti ir dirbti. O tada šeštoje klasėje jau tikrai pasidaro per sunku. Lyg po pirmos fizinio ugdymo pamokos po ilgų vasaros atostogų, kai atrodo, kad skauda viską.

 

Įtakos matematinėms žinioms turi ir tai, kaip dėstomi kiti mokomieji dalykai, kaip parašyti vadovėliai. Pavyzdžiui, seniai seniai, kai dar mokiausi mokykloje, buvo tik viena kelio apskaičiavimo formulė. Greičiui ir laikui apskaičiuoti atskirų formulių nebuvo. Bet kiekvienas, išmokęs kelio formulę, galėdavo rasti ir greitį, ir laiką – iš tos pačios kelio formulės. Ir jau du dešimtmečius mokiniai mokosi ne vieną, o tris skirtingas formules: keliui, greičiui ir laikui rasti. Vietoje vienos – tris. Arba mokomasi spęsti kelis skirtingus kvadratinės lygties atvejus (užtenka vieno). Tikrai ne veltui mokiniai skundžiasi, kad labai jau daug tų formulių esama. Kaip nesiskųsti?

 

Dar viena bėda – dalis formulių nukrenta tarsi iš dangaus: štai formulė, ji teisinga, skaičiuokit. O kodėl taip? O gal neteisinga? Kaip sužinoti? Kaip įsiminti? Didelis trūkumas matematikos mokyme mokykloje – įrodymų nebuvimas. Atseit per sunku vaikams, kam jų reikia. Bet įsiminti formulę dažnu atveju sunkiau, nei suprasti, kaip ją gauti. Kai supranti, įsiminti nė nereikia – visada gali išsivesti. Be įrodymų pradanginama matematikos prasmė.

 

Kai viskas pamatuojama, įrodoma, pagrindžiama, iš vienų išmoktų dalykų nuosekliai seka kiti, viskas tampa logiška ir aišku. Įrodymus reikėtų grąžinti bent jau nuo 7 klasės. Kodėl būtent nuo septintos? Ogi tada per lietuvių kalbos ir literatūros pamokas imama rimtai mokytis rašyti argumentuotus rašinius, kitaip sakant, savo gyvenimo tiesų įrodymus. Viskas labai glaudžiai susiję, jei vaikas mokosi tuo pačiu metu – nauda didžiulė. Iš prigimties literatas teoremą įrodinėtų ieškodamas matematinių argumentų, o matematikas rašytų rašinį ir įsivaizduotų įrodąs teoremą, ir dar keliais skirtingais būdais (aš mokykloje būtent taip ir dariau: kai suvokiau, kad rašinys – viso labo duotos temos įrodymas, gyvenimas labai palengvėjo). Įrodymo uždaviniai ne tik puikiai išmoko argumentuotai pagrįsti savo nuomonę, bet ir ugdo kritinio mąstymo gebėjimus. Tada ir gyvenime mokiniai aklai nepasitikės visa žiniasklaidos skleidžiama ar kitur girdima informacija, ieškos įrodymų – ar teisybė, ar patikimi šaltiniai, o gal abejotina.

 

Patrauklioji matematikos dalis – įdomūs loginiai uždaviniai (kokie būna olimpiadose), įvairūs galvosūkiai – į bendrąsias programas, deja, beveik neįeina. Dabartinis matematikos kursas labiau skirtas vien skrupulingam ir nuobodžiam taisyklių vykdymui, kuris greitai nusibosta, o su nuoboduliu ir prasmės praradimu dingsta ir motyvacija mokytis.

 

Iš tikrųjų sunku šiuo metu tik 11–12 klasėse. Būtų mano valia – 5–10 klasės matematikos kursą laisvai sutalpinčiau į 5–9 klasę, o 11–12 – išplėsčiau iki trejų metų, paskutinį pusmetį paliekant kartojimui. Kartojimui skirčiau ir visą paskutinį mokslo metų mėnesį kiekvienoje klasėje. Kartojimas matematikoje – itin svarbus. Nes jei iš karto ko nors nesupranti, jei smegenys dar nepajėgia priimti ar apdoroti gautos informacijos (moksliškai įrodyta, kad vaikų smegenys subręsta skirtingu laiku, yra palankūs tam tikrai informacijai įsisavinti laikotarpiai ir nepalankūs), didelė tikimybė, kad po kurio laiko, klausant antrą kartą, viskas pasirodys paprasta ir aišku. Dabar tokia galimybė abiturientams nėra suteikta – viską turi mokytis čia ir dabar, informacijai susigulėti nepalikta laiko. Tokios galimybės netenka ir kitų klasių mokiniai, jei mokytojai susiplanuoja kiekvieną temą mokyti kuo ilgiau (kol visi išmoks) ir nepasilieka pakankamai laiko kurso kartojimui. Todėl, norint puikiai pasirodyti per egzaminus, rekomenduočiau mokiniams 12 klasės kursą, bent jau jo pagrindus ar esmines sąvokas, peržvelgti dar 11 klasėje. Arba vasarą. Pasiteisina. Gal pasirodys sunku, bet vaikui norint – misija įmanoma. Žinoma, pakeitus programų sudėtį, visiems būtų kur kas paprasčiau. Labai tikiuosi, kad tai padarys atnaujintų programų rengėjai. Tai tiek apie bendrojo ugdymo programas.

Išankstinės nuostatos ir lūkesčiai vaiko atžvilgiu

 

Dabar apie požiūrį į mokinį. Ar teko girdėti apie savaime išsipildančias pranašystes? Taip, tokios yra, ir jos veikia. Ir jei vaikams nuolat kalsime į galvas, kokia sunki matematika, kokios baisios programos, jie tuo patikės. Suaugusiųjų autoritetas didžiulis. Ypač svarbūs mokytojo lūkesčiai mokinių atžvilgiu. Tikriausiai teko girdėti apie atliktą tyrimą, kai vaikai, perėję į naują mokyklą, buvo sugrupuoti į dvi identiškas pagal žinias ir vaikų socialinę aplinką klases. Mokytojams buvo pasakyta, kad atliekamas eksperimentas, ir vaikai į klases surūšiuoti pagal gebėjimus. Mokytojai, gavę „pačių gabiausiųjų“ klasę, po kelių savaičių labai savimi nusivylė, nes tie patys gabiausieji mokėsi labai jau vidutiniškai. Bet jie žinojo, kad turi gabiausius vaikus, ir ėmė galvoti, ką gi daro ne taip, kad vaikai nepasiekia anksčiau turėtų aukščiausių rezultatų. Keitė ir bandė pačius įvairiausius mokymo būdus ir metodus, kol nemaža dalis mokinių galiausiai pradėjo gauti pačius aukščiausius įvertinimus. Kitoje klasėje, dirbantys su visiškais atsilikėliais, pamokoms beveik nesiruošdavo, nes visą laiką „surydavo“ ruošimasis darbui su gabiaisiais. Iš pradžių dar kartais nustebdavo, kai jie parodydavo ne tokias jau ir blogas žinias, bet galiausiai pažymiai ėmė atitikti „realią“ padėtį. Mokslo metų pabaigoje mokinių įvertinimai pateisino lūkesčius – vienoje klasėje buvo labai stiprūs mokiniai, kitoje – silpni. Belieka pamąstyti, ką pajuto šiame eksperimente dalyvavę mokytojai, sužinoję, kas buvo padaryta su dviem vienodų gebėjimų klasėm… Šis gana žiaurokas pavyzdys puikiai atskleidžia, kaip svarbu nenuvertinti vaikų, kaip svarbu tikėti, kokiais jie galėtų tapti.

 

Vaikai nuvertinami ir orientuojant pamoką į vidutinių gebėjimų mokinius. Kalbama apie lygias galimybes, bet argi jos lygios, jei yra vaikų, kuriems ir tada viskas per sunku, ir yra tokių, kuriems per lengva? Ir nesvarbu, ar per lengva, ar per sunku – tokiu atveju galima išmokti tik tingėti ir nieko neveikti. Argi ilgai išlaikytumėte dėmesį paskaitoje apie kosminius laivus kiniečių kalba? Arba penktą kartą klausydamiesi aiškinimo, kad du plius du yra keturi? O taip kai kurie vaikai per pamokas ir jaučiasi. Kiekvienas turėtų gauti užduotis pagal savo galias, kad galėtų mokytis savo tempu. Kai dirbama su visais kartu – bendra orientacija visgi turėtų būti į aukštesniųjų gebėjimų ugdymą (prisiminkit kartojimo galią). Reikėtų stengtis kiekvieną mokinį „pakelti“ į kuo aukštesnį lygmenį ir jokiu būdu nemažinti atskirties gabesniuosius „nuleidžiant“ žemyn.

 

Neseniai išvadą, kad vienas svarbiausių veiksnių, prognozuojančių mokinių pasiekimus – tikėjimas mokinio galiomis, padarė Nacionalinės švietimo agentūros Stebėsenos ir vertinimo departamento Vertinimo skyrius, atnaujinęs „Mokinių pasiekimus ir pažangą lemiančių veiksnių modelį“. Ar tik nebus tokia situacija ir su matematika? Gal laikas pradėti vaikams kalbėti, kad matematika – labai lengvas ir konkretus mokslas, kurio pagrindus gali išmokti kiekvienas? Dar atsimenu vieną pokalbį, kai išsprendęs uždavinį vaikas atėjo prašyti, kad paaiškinčiau, kaip reikia spręsti, nes pats spręsti nemoka. Betgi, sakau, čia viskas teisinga. Niekaip negalėjo patikėti: „Tai negi gali būti taip paprasta ir teisinga? Juk visi sako, kad čia labai sunku?“. Kas gali paneigti, kad išankstinis lūkestis žymia dalimi prisideda prie prasto matematikos mokymosi? Kad dalis vaikų tuo patiki ir net neužrašo paprastų sprendimų, kurie būtų teisingi? Gal iš tiesų žemesnėse klasėse per lengvos, o ne per sunkios, kaip kalbama, mokymo programos, per žemai nuleista kartelė iš anksto nuvertina mokinių pasiekimus? Juk jei galvosime, kad mokiniai tik tiek tesugeba, jie pateisins lūkesčius ir nieko neišmoks.

Pabaigai

 

Taigi, ar verta bijoti matematikos? Tikrai ne. Atėjo laikas keisti požiūrį ir matematikai grąžinti pelnytą mokslų karalienės titulą. Reikėtų gerokai padirbėti atnaujinant bendrąsias matematikos ugdymo programas ir keičiant visuomenės, pirmiausia švietimo bendruomenės, požiūrį. Matematika – puiki proto mankšta. Matematinės žinios, jų puoselėjimas padėtų pagerinti ir kitų mokomųjų dalykų pasiekimus. Svarbiausia – nenuvertinti savo vaikų, mokinių, tikėti, kad jie gali ir nenuleisti per žemai lūkesčių kartelės. Padėti pajusti matematikos mokslo žavesį ir grožį ir ne su baime, o su džiaugsmu vesti vaikus per įdomų matematikos pasaulį.

Mielai sutinkame pasidalyti „Švietimo naujienų“ svetainėje skelbiamais tekstais ir nuotraukomis, tik prašome nurodyti informacijos šaltinį ir autorius.

Parašykite komentarą

El. pašto adresas nebus skelbiamas. Būtini laukeliai pažymėti *